Circumcenter of three points on a sphere

Given points aˆ, bˆ, and cˆ on the unit sphere, where is the circumcenter dˆ of those points—the point that is equidistant from aˆ, bˆ, and cˆ as measured, not in 3D space, but on the unit sphere?

The initial system of equations is:

s_ad = s_bd = s_cd

|dˆ| = 1

The length of the great-circle arc measured on the unit sphere, s, is the same as the angle θ measured (in radians) from the origin:

θ_ad = θ_bd = θ_cd

|dˆ| = 1

In measuring physical angles, θ_ad ∈ [0, π], so θ_ad = θ_bd ↔ cos(θ_ad) = cos(θ_bd):

cos(θ_ad) = cos(θ_bd) = cos(θ_cd)

|dˆ| = 1

By the definition of the dot product, dˆ ⋅ aˆ = |dˆ||aˆ|cos(θ_ad), and these points are on the unit sphere, so |aˆ| = |dˆ| = 1:

dˆ ⋅ aˆ = dˆ ⋅ bˆ = dˆ ⋅ cˆ

|dˆ| = 1

Convert from vectors to 3D coordinates:

x_dx_a + y_dy_a + z_dz_a = x_dx_b + y_dy_b + z_dz_b (equation 1)

x_dx_a + y_dy_a + z_dz_a = x_dx_c + y_dy_c + z_dz_c (equation 2)

x_d² + y_d² + z_d² = 1 (equation 3)

Solve equation 1 for x_d:

x_dx_a − x_dx_b = y_dy_b − y_dy_a + z_dz_b − z_dz_a

x_d(x_a − x_b) = y_d(y_b − y_a) + z_d(z_b − z_a)

x_d = y_dy_b − y_ax_a − x_b + z_dz_b − z_ax_a − x_b (equation 4)

Solve equation 2 for x_d:

x_dx_a − x_dx_c = y_dy_c − y_dy_a + z_dz_c − z_dz_a

x_d(x_a − x_c) = y_d(y_c − y_a) + z_d(z_c − z_a)

x_d = y_dy_c − y_ax_a − x_c + z_dz_c − z_ax_a − x_c (equation 5)

Substitute x_d from equation 4 into equation 5 and solve for y_d:

y_dy_b − y_ax_a − x_b + z_dz_b − z_ax_a − x_b = y_dy_c − y_ax_a − x_c + z_dz_c − z_ax_a − x_c

y_dy_b − y_ax_a − x_b − y_dy_c − y_ax_a − x_c = z_dz_c − z_ax_a − x_c − z_dz_b − z_ax_a − x_b

y_d(y_b − y_ax_a − x_b − y_c − y_ax_a − x_c) = z_d(z_c − z_ax_a − x_c − z_b − z_ax_a − x_b)

y_d((y_b − y_a)(x_a − x_c) − (y_c − y_a)(x_a − x_b)) = z_d((z_c − z_a)(x_a − x_b) − (z_b − z_a)(x_a − x_c))

y_d = z_d(z_c − z_a)(x_a − x_b) − (z_b − z_a)(x_a − x_c)(y_b − y_a)(x_a − x_c) − (y_c − y_a)(x_a − x_b) (equation 6)

Substitute x_d from equation 4 into equation 3:

(y_dy_b − y_ax_a − x_b + z_dz_b − z_ax_a − x_b)² + y_d² + z_d² = 1

y_d² + y_d²(y_b − y_ax_a − x_b)² + y_dz_d2(y_b − y_a)(z_b − z_a)(x_a − x_b)² + z_d² + z_d²(z_b − z_ax_a − x_b)² = 1

y_d²(1 + (y_b − y_ax_a − x_b)²) + y_dz_d2(y_b − y_a)(z_b − z_a)(x_a − x_b)² + z_d²(1 + (z_b − z_ax_a − x_b)²) = 1

y_d²((x_a − x_b)² + (y_b − y_a)²) + 2y_dz_d(y_b − y_a)(z_b − z_a) + z_d²((x_a − x_b)² + (z_b − z_a)²) = (x_a − x_b)² (equation 7)

Substitute y_d from equation 6 into equation 7 and solve for z_d:

z_d²((x_a − x_b)² + (y_b − y_a)²)((z_c − z_a)(x_a − x_b) − (z_b − z_a)(x_a − x_c)(y_b − y_a)(x_a − x_c) − (y_c − y_a)(x_a − x_b))² + 2z_d²(y_b − y_a)(z_b − z_a)(z_c − z_a)(x_a − x_b) − (z_b − z_a)(x_a − x_c)(y_b − y_a)(x_a − x_c) − (y_c − y_a)(x_a − x_b) + z_d²((x_a − x_b)² + (z_b − z_a)²) = (x_a − x_b)²

z_d²(((x_a − x_b)² + (y_b − y_a)²)((z_c − z_a)(x_a − x_b) − (z_b − z_a)(x_a − x_c)(y_b − y_a)(x_a − x_c) − (y_c − y_a)(x_a − x_b))² + 2(y_b − y_a)(z_b − z_a)(z_c − z_a)(x_a − x_b) − (z_b − z_a)(x_a − x_c)(y_b − y_a)(x_a − x_c) − (y_c − y_a)(x_a − x_b) + ((x_a − x_b)² + (z_b − z_a)²)) = (x_a − x_b)²

z_d²(((x_a − x_b)² + (y_b − y_a)²)((z_c − z_a)(x_a − x_b) − (z_b − z_a)(x_a − x_c))² + 2(y_b − y_a)(z_b − z_a)((z_c − z_a)(x_a − x_b) − (z_b − z_a)(x_a − x_c))((y_b − y_a)(x_a − x_c) − (y_c − y_a)(x_a − x_b)) + ((x_a − x_b)² + (z_b − z_a)²)((y_b − y_a)(x_a − x_c) − (y_c − y_a)(x_a − x_b))²) = (x_a − x_b)²((y_b − y_a)(x_a − x_c) − (y_c − y_a)(x_a − x_b))²

z_d² = (x_a − x_b)²((y_b − y_a)(x_a − x_c) − (y_c − y_a)(x_a − x_b))²((x_a − x_b)² + (y_b − y_a)²)((z_c − z_a)(x_a − x_b) − (z_b − z_a)(x_a − x_c))² + 2(y_b − y_a)(z_b − z_a)((z_c − z_a)(x_a − x_b) − (z_b − z_a)(x_a − x_c))((y_b − y_a)(x_a − x_c) − (y_c − y_a)(x_a − x_b)) + ((x_a − x_b)² + (z_b − z_a)²)((y_b − y_a)(x_a − x_c) − (y_c − y_a)(x_a − x_b))²

z_d = ±(x_a − x_b)((y_b − y_a)(x_a − x_c) − (y_c − y_a)(x_a − x_b))√(((x_a − x_b)² + (y_b − y_a)²)((z_c − z_a)(x_a − x_b) − (z_b − z_a)(x_a − x_c))² + 2(y_b − y_a)(z_b − z_a)((z_c − z_a)(x_a − x_b) − (z_b − z_a)(x_a − x_c))((y_b − y_a)(x_a − x_c) − (y_c − y_a)(x_a − x_b)) + ((x_a − x_b)² + (z_b − z_a)²)((y_b − y_a)(x_a − x_c) − (y_c − y_a)(x_a − x_b))²) (equation 8)

(I won't bother to try simplifying equation 8.) Use equations 8, 6, and 4 (in that order) to find dˆ. Note that there are two mutually-antipodal solutions.